문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 수 체계 (문단 편집) === [[자연수]] === Natural number [math(1,\,2,\,3,\,4,\cdots)] 등, 정수 중에서 양의 정수만을 의미하며, 가장 간단한 수의 집합이다. 기호 표현으로는 첫 글자를 따서 [math(\mathbb{N})]으로 쓴다. 경우에 따라서는 양의 정수라는 뜻에서 [math(\mathbb{Z}^{+})]라 표현하는 경우도 있다. 모든 것의 시작. 집합론을 빼면, 수학의 시작은 사실상 여기다. 자연수가 없으면 그게 과연 수학일까?[* [[쿠르트 괴델]]의 [[불완전성 정리]]는 자연수 체계를 포함하는 수학 체계만 다루는 정리이다.] 그렇다 보니, 자연수는 구성하는 것이 아니라 정의하는 것이라고 보는 편이 낫겠다. 자연수 집합은 일단 페아노 공리를 만족시키는 집합으로 정의되는데, 자세한 건 [[자연수]] 문서 참고. 참고로 이러한 정의는 단지 정의일 뿐이지, 자연수 집합의 존재를 보장해 주진 않는다. 그 존재성은 다른 방법으로 보장되어야 하는데, 물론 이는 집합론 레벨의 이야기이다. 현재 가장 널리 받아들여진 [[ZFC 공리계]][* '집합은 이거다'라고 딱 정해주는 것쯤으로 보면 된다. 눈치챘겠지만, 집합을 정해주는 공리계는 [math(\mathbb{ZFC})]만 있지 않다. 다만 ZFC가 그중 가장 널리 쓰이는 체계이며, 사실 어느 공리계든 자연수 집합의 존재성을 보장해 주는 건 변치 않는다.]는 이러한 집합의 존재를 보장해 준다. 따라서 수학자들은 안심하고 자연수를 쓸 수 있는 것이다. 단''' ZFC만으로는 구체적으로 어떠한 집합이 자연수 집합인지는 알 수 없다.''' 자연수 집합에 대한 일반적인 정의는 [[ZFC 공리계#s-2.7|무한공리]] 항목 참조. 자연수의 모든 성질들은 페아노 공리들로부터 도출된다. 일단 자연수 집합이 무한집합이라는 걸 이끌어낼 수 있으며, 덧셈과 곱셉의 정의를 도입하면 이 연산들이 닫혀 있고, 결합법칙, 교환법칙, 소거법칙, 분배법칙 등을 만족시킨다는 걸 이끌어 낼 수 있다. 이로부터 알 수 있는 건, 자연수 집합이 덧셈과 관하여 반군, 곱셈에 관하여 항등원이 있는 모노이드를 이룬다는 것이다.[* 반군은 집합이 해당 연산에 대해 닫혀 있고 그 연산이 그 집합 안에서 결합법칙을 만족시킨다는 뜻. 덧붙여서, 해당 연산에 대한 항등원(identity)이 존재하면, 그 집합을 모노이드라고 부르며, 거기다가 그 집합의 모든 원소가 해당 연산에 대한 역원(inverse)을 가진다면, 비로소 그 집합은 [[군(대수학)]]이 된다.] 참고로, 페아노 공리를 그대로 따르는 자연수 집합엔 0, 즉 덧셈의 항등원이 존재하지 않는다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기